高考数学试题以及解答

高考作为中国教育体系中的重要一环，其数学部分一直是考生关注的焦点。数学不仅考验学生的逻辑思维能力，还对解题技巧和应试策略提出了较高要求。本文将通过一些典型例题及其详细解答，帮助学生更好地理解高考数学的核心考点。

首先来看一道常见的函数与导数结合的问题：

例题 1：

已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，求该函数在区间 $[-2, 2]$ 上的最大值与最小值。

解析：

1. 求导数 $ f'(x) = 3x^2 - 3 $。

2. 解方程 $ f'(x) = 0 $，得临界点 $ x = \pm 1 $。

3. 计算各临界点及端点处的函数值：

- $ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1 $

- $ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 $

- $ f(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 $

- $ f(2) = (2)^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 $

因此，在区间 $[-2, 2]$ 上，最大值为 $ 3 $，最小值为 $-1$。

接下来是概率统计部分的经典问题：

例题 2：

从一副扑克牌（不含大小王）中随机抽取两张牌，求至少有一张是红桃的概率。

解析：

总共有 $52$ 张牌，其中红桃有 $13$ 张。总的抽法数为 $ C_{52}^2 $。至少有一张是红桃的情况分为两种：

1. 抽到一张红桃和一张非红桃；

2. 抽到两张红桃。

计算如下：

- 抽到一张红桃和一张非红桃的组合数为 $ C_{13}^1 \cdot C_{39}^1 $；

- 抽到两张红桃的组合数为 $ C_{13}^2 $。

因此，至少有一张是红桃的概率为：

$$

P = \frac{C_{13}^1 \cdot C_{39}^1 + C_{13}^2}{C_{52}^2}

$$

通过以上两道例题可以看出，高考数学注重基础知识的同时，也强调综合运用能力。希望同学们能够通过不断练习，掌握各类题型的解题方法，从而在考试中取得优异成绩。

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