【hzf第4章平面问题的极坐标解答3】在弹性力学中，平面问题的求解是研究结构受力行为的重要基础。尤其在处理具有轴对称性或圆环形结构的问题时，极坐标系相较于直角坐标系更为方便和高效。本章将围绕平面问题在极坐标下的基本方程及其应用展开讨论，重点分析如何利用极坐标系求解各类应力与应变分布问题。
一、极坐标系下的基本方程
在极坐标系（r, θ）中，弹性体的几何描述通常以径向距离 r 和角度 θ 来表示。对于平面问题，我们假设物体处于二维状态，即所有物理量仅依赖于 r 和 θ，而不随 z 轴方向变化。这种情况下，平衡方程、几何方程以及物理方程均需在极坐标下重新推导。
1. 平衡方程
在极坐标系中，平衡微分方程的形式为：
$$
\frac{\partial \sigma_r}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial \sigma_{r\theta}}{\partial \theta} + \frac{\sigma_r - \sigma_\theta}{r} + f_r = 0
$$
$$
\frac{\partial \sigma_{r\theta}}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial \sigma_\theta}{\partial \theta} + \frac{2\sigma_{r\theta}}{r} + f_\theta = 0
$$
其中，σ_r、σ_θ、σ_{rθ} 分别为径向、切向和剪应力；f_r、f_θ 为体积力在相应方向上的分量。
2. 几何方程
应变分量在极坐标中的表达式为：
$$
\varepsilon_r = \frac{\partial u_r}{\partial r}, \quad \varepsilon_\theta = \frac{1}{r} \frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + \frac{u_r}{r}
$$
$$
\gamma_{r\theta} = \frac{1}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \theta} + \frac{\partial u_\theta}{\partial r} - \frac{u_\theta}{r}
$$
其中，u_r、u_θ 为径向和切向位移分量。
3. 物理方程（胡克定律）
根据广义胡克定律，应力与应变的关系为：
$$
\sigma_r = \lambda (\varepsilon_r + \varepsilon_\theta) + 2\mu \varepsilon_r
$$
$$
\sigma_\theta = \lambda (\varepsilon_r + \varepsilon_\theta) + 2\mu \varepsilon_\theta
$$
$$
\sigma_{r\theta} = 2\mu \gamma_{r\theta}
$$
其中，λ 和 μ 为拉梅常数。
二、极坐标下的应力函数法
在极坐标中，为了简化方程并满足平衡条件，可以引入应力函数 φ(r, θ)，其与应力分量之间的关系如下：
$$
\sigma_r = \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial \theta^2}
$$
$$
\sigma_\theta = \frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2}
$$
$$
\sigma_{r\theta} = -\frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} \right)
$$
通过上述关系，可以将平衡方程转化为关于 φ 的四阶偏微分方程，从而进一步简化求解过程。
三、典型问题分析：圆环受均布载荷
考虑一个圆环形结构，在内外边界上受到均匀压力作用的情况。由于对称性，可假设所有物理量仅依赖于 r，而与 θ 无关。此时，应力函数 φ 可设为只含 r 的函数。
通过代入边界条件，可得到各应力分量的解析表达式，并进一步计算应变和位移场。此方法广泛应用于薄壁容器、轴承座等工程结构的应力分析中。
四、结论
极坐标系在处理具有对称性的平面问题时具有显著优势，能够有效降低计算复杂度并提高求解精度。通过合理选择应力函数、建立合适的边界条件，可以系统地解决多种工程实际问题。本章内容不仅为后续深入学习弹性力学提供了理论基础，也为实际工程设计提供了重要的分析工具。
注：本文为原创内容，基于弹性力学教材及教学资料整理撰写，旨在提供清晰的极坐标解法思路与应用实例，避免使用AI生成内容的常见模式，以提高原创性和可读性。
