【計算机控制理论例题-差分方程求解】在計算機控制系統的學習過程中，差分方程是一個非常重要的基礎知識點。它用來描述離散時間系統的動態特性，與連續系統中的微分方程相對應。掌握差分方程的求解方法，有助於我們更好地理解數字控制器的設計與分析。
本文將通過一個典型的例題，詳細講解如何利用差分方程來分析和求解離散控制系統的響應。
一、問題描述
考慮以下二階線性常係數差分方程：
$$
y(k+2) + 3y(k+1) + 2y(k) = u(k)
$$
其中，$ y(k) $ 為系統的輸出序列，$ u(k) $ 為系統的輸入序列。初始條件為：
$$
y(0) = 1, \quad y(1) = 2
$$
假設輸入信號為單位階躍函數，即：
$$
u(k) =
\begin{cases}
0, & k < 0 \\
1, & k \geq 0
\end{cases}
$$
要求：求解系統的輸出序列 $ y(k) $ 在 $ k = 0, 1, 2, 3, 4 $ 時的值。
二、求解步驟
1. 將差分方程轉換為遞推形式
原方程為：
$$
y(k+2) + 3y(k+1) + 2y(k) = u(k)
$$
可以改寫為：
$$
y(k+2) = -3y(k+1) - 2y(k) + u(k)
$$
這就是我們可以用於迭代計算的遞推公式。
2. 初始條件代入
已知：
- $ y(0) = 1 $
- $ y(1) = 2 $
當 $ k = 0 $ 時：
$$
y(2) = -3y(1) - 2y(0) + u(0) = -3 \times 2 - 2 \times 1 + 1 = -6 - 2 + 1 = -7
$$
當 $ k = 1 $ 時：
$$
y(3) = -3y(2) - 2y(1) + u(1) = -3 \times (-7) - 2 \times 2 + 1 = 21 - 4 + 1 = 18
$$
當 $ k = 2 $ 時：
$$
y(4) = -3y(3) - 2y(2) + u(2) = -3 \times 18 - 2 \times (-7) + 1 = -54 + 14 + 1 = -39
$$
當 $ k = 3 $ 時：
$$
y(5) = -3y(4) - 2y(3) + u(3) = -3 \times (-39) - 2 \times 18 + 1 = 117 - 36 + 1 = 82
$$
三、結果整理
根據上述計算，得到系統在不同時刻的輸出值如下：
| k | y(k) |
|---|------|
| 0 | 1|
| 1 | 2|
| 2 | -7 |
| 3 | 18 |
| 4 | -39|
可以看到，系統的輸出在初始階段出現了負值，這是因為系統本身的極點位於複數平面的左半部分，導致其具有振盪特性。
四、結論
通過這個例題，我們了解了如何根據差分方程進行離散系統的輸出計算。差分方程的求解過程雖然簡單，但對於理解系統的動態行為至關重要。在實際應用中，還需結合穩定性分析、極點位置等知識，以確保系統的正確運行。
希望本例題能夠幫助讀者更好地掌握差分方程的求解方法，並為後續學習數字控制理論打下堅實的基礎。
