【微积分练习题】在数学的学习过程中，微积分是一个不可或缺的重要部分。它不仅帮助我们理解变化的规律，还广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。为了更好地掌握微积分的基本概念和解题技巧，通过做练习题来巩固知识是非常有效的途径。

以下是一些具有代表性的微积分练习题，涵盖导数、积分以及极限等基本内容，适合初学者和进阶学习者进行练习。

一、导数相关题目

1. 求函数 $ f(x) = x^3 - 4x + 2 $ 的导数。

解法提示：

使用幂法则逐项求导即可。

2. 已知 $ y = \sin(2x) $，求 $ \frac{dy}{dx} $。

解法提示：

利用链式法则，先对正弦函数求导，再乘以内部函数的导数。

3. 求函数 $ g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} $ 的导数。

解法提示：

使用商法则：$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $。

二、积分相关题目

4. 计算不定积分 $ \int (3x^2 - 5x + 7) \, dx $。

解法提示：

逐项积分，注意常数项的处理。

5. 求定积分 $ \int_{0}^{2} (x^2 + 1) \, dx $。

解法提示：

先求原函数，再代入上下限计算差值。

6. 计算 $ \int e^{3x} \, dx $。

解法提示：

利用指数函数的积分公式：$ \int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C $。

三、极限与连续性题目

7. 求极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} $。

解法提示：

利用重要极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $，并适当调整系数。

8. 判断函数 $ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} $ 在 $ x = 2 $ 处是否连续。

解法提示：

化简表达式，观察是否存在可去间断点。

四、综合应用题

9. 设函数 $ h(x) = \ln(x^2 + 1) $，求其导数，并分析其单调性。

解法提示：

先求导，再根据导数符号判断函数的增减区间。

10. 一个物体沿直线运动，位移函数为 $ s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t $，求其速度函数和加速度函数，并找出何时加速度为零。

解法提示：

速度是位移的一阶导数，加速度是速度的导数；令加速度等于零求解时间。

结语

微积分不仅是数学的基础工具，更是探索世界变化规律的重要手段。通过不断地练习，可以加深对微积分概念的理解，并提升解决实际问题的能力。希望以上练习题能帮助你在微积分的学习道路上更进一步。

在做题过程中，建议结合教材或参考资料，遇到困难时多查阅资料或请教老师，逐步提高自己的解题能力。坚持练习，你会发现微积分并不难，反而充满乐趣！