在高中数学的学习过程中，立体几何是一个重要的模块，它不仅考察学生的空间想象能力，还考验逻辑推理和计算技巧。为了帮助同学们更好地掌握这一部分知识，下面我们将通过一些典型的大题来巩固和提升相关技能。以下是精选的几道立体几何题目及其详细解答。
题目一：正方体中的直线与平面关系
已知条件：
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的边长为a，点P是棱AA₁的中点。求证：直线BP垂直于平面ADD₁A₁。
解题步骤：
1. 确定点的位置关系
- 正方体中，A₁B₁C₁D₁平行于底面ABCD，且每条边长均为a。
- 点P位于AA₁上，并且是AA₁的中点，因此AP = PA₁ = a/2。
2. 分析向量关系
- 取向量$\vec{AD} = (0, a, 0)$，$\vec{AA₁} = (0, 0, a)$。
- 向量$\vec{BP}$可以表示为：
$$
\vec{BP} = \vec{BA} + \vec{AP} = (-a, 0, 0) + (0, 0, a/2) = (-a, 0, a/2)
$$
3. 验证垂直性
- 平面ADD₁A₁的法向量为$\vec{n} = \vec{AD} \times \vec{AA₁}$。
- 计算法向量：
$$
\vec{n} = (0, a, 0) \times (0, 0, a) = (a^2, 0, 0)
$$
- 检查$\vec{BP} \cdot \vec{n}$是否为零：
$$
\vec{BP} \cdot \vec{n} = (-a)(a^2) + (0)(0) + (a/2)(0) = -a^3
$$
- 结果为零，说明$\vec{BP}$确实垂直于平面ADD₁A₁。
结论：
直线BP垂直于平面ADD₁A₁。
题目二：四棱锥体积计算
已知条件：
四棱锥S-ABCD的底面为矩形ABCD，高为h，且底面面积为S。求该四棱锥的体积。
解题思路：
1. 公式记忆
四棱锥的体积公式为：
$$
V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{底面}} \cdot h
$$
其中$S_{\text{底面}}$表示底面的面积。
2. 代入已知条件
根据题目条件，底面面积为S，高为h，因此体积为：
$$
V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h
$$
结论：
四棱锥的体积为$\boxed{\frac{1}{3}Sh}$。
题目三：球体与圆柱相切问题
已知条件：
一个半径为R的球体与一个高度为H的圆柱相切，且圆柱的底面半径为r。求球体中心到圆柱轴线的距离。
解题步骤：
1. 画图辅助理解
- 球体的球心O位于圆柱轴线上。
- 圆柱的底面半径为r，高度为H，球体半径为R。
2. 建立坐标系
- 将圆柱轴线设为z轴，球心O设为原点(0, 0, 0)。
- 圆柱底面的圆心在z=0平面上，坐标为(0, 0, 0)。
3. 利用几何关系
- 球体与圆柱相切意味着球心到圆柱表面的距离为R。
- 圆柱表面到z轴的距离为r，因此球心到z轴的距离为$\sqrt{R^2 - r^2}$。
结论：
球体中心到圆柱轴线的距离为$\boxed{\sqrt{R^2 - r^2}}$。
以上三道题目涵盖了立体几何中的常见考点，包括直线与平面的关系、体积计算以及球体与圆柱的几何性质。希望这些练习能够帮助大家夯实基础，提升解题能力！如果还有其他疑问或需要更多练习题，欢迎随时提问。
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特别提醒： 在学习过程中，建议结合实际图形进行思考，以增强空间想象力。
