在高中阶段，数学作为一门基础学科，贯穿于各个学习领域，是学生提升逻辑思维、分析问题和解决问题能力的重要工具。为了帮助同学们更好地掌握数学知识，提高解题效率，本文整理了高中数学中常用的核心公式，涵盖代数、几何、三角函数、数列、概率统计等多个方面，内容全面、结构清晰，便于查阅与复习。
一、代数部分
1. 因式分解公式
- $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $
- $ a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) $
- $ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $
- $ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 $
2. 二次方程求根公式
对于方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其根为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
其中判别式 $ D = b^2 - 4ac $，决定根的性质。
3. 指数与对数运算
- $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $
- $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
- $ (a^m)^n = a^{mn} $
- $ \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} $（换底公式）
- $ \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y $
- $ \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y $
二、三角函数部分
1. 基本三角恒等式
- $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $
- $ 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta $
- $ 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta $
2. 和角与差角公式
- $ \sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b $
- $ \cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b $
- $ \tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b} $
3. 倍角公式
- $ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta $
- $ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta $
- $ \tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} $
三、数列与数学归纳法
1. 等差数列
- 通项公式：$ a_n = a_1 + (n - 1)d $
- 前n项和：$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $
2. 等比数列
- 通项公式：$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $
- 前n项和：$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $）
3. 数学归纳法
用于证明与自然数相关的命题，步骤包括：
- 基础步：验证 $ n = 1 $ 成立
- 归纳步：假设 $ n = k $ 成立，证明 $ n = k + 1 $ 也成立
四、立体几何与解析几何
1. 空间几何体体积公式
- 长方体：$ V = abc $
- 正方体：$ V = a^3 $
- 圆柱体：$ V = \pi r^2 h $
- 圆锥体：$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $
- 球体：$ V = \frac{4}{3} \pi r^3 $
2. 直线与圆的方程
- 直线的一般式：$ Ax + By + C = 0 $
- 圆的标准方程：$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $
- 点到直线的距离公式：$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $
五、概率与统计
1. 排列组合公式
- 排列数：$ P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} $
- 组合数：$ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} $
2. 概率公式
- 事件A发生的概率：$ P(A) = \frac{\text{有利结果数}}{\text{总结果数}} $
- 条件概率：$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $
- 独立事件：若 $ A $ 与 $ B $ 独立，则 $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $
3. 期望与方差
- 期望：$ E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i) $
- 方差：$ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $
六、微积分初步（选修内容）
1. 导数定义
函数 $ f(x) $ 在 $ x $ 处的导数为：
$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
$$
2. 常见函数导数
- $ \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} $
- $ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x $
- $ \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x $
- $ \frac{d}{dx} e^x = e^x $
- $ \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} $
3. 积分公式
- $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $）
- $ \int \sin x dx = -\cos x + C $
- $ \int \cos x dx = \sin x + C $
- $ \int e^x dx = e^x + C $
结语
高中数学公式繁多，但掌握核心内容并灵活运用是提高成绩的关键。建议同学们在平时学习中注重理解公式的推导过程，结合例题进行练习，逐步形成自己的解题思路和方法。希望本文的整理能为你的数学学习提供帮助，助力你在考试中取得优异成绩！
