在高中数学的学习过程中，三角函数是一个非常重要的内容模块，它不仅在课本中占据较大比重，而且在后续的数学、物理、工程等学科中也有广泛应用。掌握好三角函数的相关公式，对于解决各种数学问题具有重要意义。本文将系统整理和归纳高中阶段常见的三角函数公式，帮助同学们更好地理解和记忆。
一、基本概念
三角函数是基于直角三角形边角关系定义的，也可以通过单位圆进行推广。常见的六种三角函数为：
- 正弦函数：sinθ
- 余弦函数：cosθ
- 正切函数：tanθ
- 余切函数：cotθ（即1/tanθ）
- 正割函数：secθ（即1/cosθ）
- 余割函数：cscθ（即1/sinθ）
二、常用公式汇总
1. 基本关系式
- 倒数关系：
- sinθ = 1 / cscθ
- cosθ = 1 / secθ
- tanθ = 1 / cotθ
- 商数关系：
- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ
- 平方关系：
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
2. 诱导公式（角度变换）
用于将任意角转换为0°~360°之间的角，便于计算：
- sin(π - θ) = sinθ
- cos(π - θ) = -cosθ
- tan(π - θ) = -tanθ
- sin(π + θ) = -sinθ
- cos(π + θ) = -cosθ
- tan(π + θ) = tanθ
- sin(-θ) = -sinθ
- cos(-θ) = cosθ
- tan(-θ) = -tanθ
3. 和差角公式
用于计算两个角的和或差的三角函数值：
- sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB
- cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB
- tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)
4. 二倍角公式
- sin2θ = 2 sinθ cosθ
- cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ
- tan2θ = 2 tanθ / (1 - tan²θ)
5. 三倍角公式
- sin3θ = 3sinθ - 4sin³θ
- cos3θ = 4cos³θ - 3cosθ
- tan3θ = (3tanθ - tan³θ) / (1 - 3tan²θ)
6. 半角公式
- sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]
- cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]
- tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = sinθ / (1 + cosθ)
7. 积化和差公式
- sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2
- cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2
- sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2
8. 和差化积公式
- sinA + sinB = 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]
- sinA - sinB = 2 cos[(A+B)/2] sin[(A-B)/2]
- cosA + cosB = 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]
- cosA - cosB = -2 sin[(A+B)/2] sin[(A-B)/2]
三、特殊角的三角函数值表
| 角度（°） | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|-----------|------|-------|-------|-------|-------|
| 弧度| 0| π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
| sinθ| 0| 1/2 | √2/2| √3/2| 1 |
| cosθ| 1| √3/2| √2/2| 1/2 | 0 |
| tanθ| 0| √3/3| 1 | √3| 无意义 |
四、三角函数图像与性质
- 正弦函数 y = sinx：周期为2π，最大值1，最小值-1，奇函数
- 余弦函数 y = cosx：周期为2π，最大值1，最小值-1，偶函数
- 正切函数 y = tanx：周期为π，无最大最小值，奇函数，有渐近线
五、应用举例
三角函数广泛应用于解三角形、求周期、振幅、相位变化等问题。例如：
- 利用正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC
- 利用余弦定理：c² = a² + b² - 2ab cosC
- 解三角方程如：sinx = 1/2，解得 x = π/6 + 2kπ 或 5π/6 + 2kπ
六、学习建议
1. 理解定义：先从单位圆出发，理解三角函数的几何意义。
2. 多做练习：通过大量习题巩固公式运用能力。
3. 总结规律：注意公式的对称性、周期性和相互关系。
4. 结合图像：通过图像辅助记忆函数的变化趋势。
结语：
三角函数作为高中数学的重要组成部分，既是基础也是难点。熟练掌握其公式和应用，不仅能提升数学成绩，也为今后的进一步学习打下坚实的基础。希望本文能帮助大家更系统地复习和掌握相关知识，提高解题效率与准确性。
