数学，是一门充满挑战与智慧的学科。它不仅锻炼我们的思维能力，还激发我们对世界本质的探索欲望。在众多数学问题中，有一些题目因其难度高、逻辑复杂而被称为“难题”。今天，我们就来整理一份包含100道经典数学难题的清单，涵盖代数、几何、数论、组合数学等多个领域，适合不同层次的数学爱好者挑战。
一、代数类难题
1. 解方程：$ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 $
2. 求 $ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots}}} $ 的值
3. 已知 $ a + b = 5 $，$ ab = 6 $，求 $ a^3 + b^3 $
4. 解不等式：$ \frac{x^2 - 4}{x - 1} > 0 $
5. 设 $ f(x) = x^2 + 2x + 1 $，求 $ f(f(x)) $
6. 解方程组：
$$
\begin{cases}
x + y = 7 \\
x - y = 3
\end{cases}
$$
7. 化简表达式：$ (a + b)^2 - (a - b)^2 $
8. 求函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $ 在 $ x=2 $ 处的导数
9. 若 $ \log_2 x = 3 $，则 $ x = ? $
10. 解方程：$ 2^{x+1} = 16 $
二、几何类难题
11. 三角形三边分别为 3, 4, 5，判断其是否为直角三角形
12. 求圆的周长公式，并计算半径为 5 的圆的周长
13. 正方形对角线长度是 10，求其边长
14. 已知一个圆的面积是 $ 25\pi $，求其半径
15. 在平面直角坐标系中，点 A(2,3)，B(-1,4)，求 AB 的距离
16. 一个正六边形的内角和是多少？
17. 求一个等边三角形的高，已知边长为 6
18. 直线 $ y = 2x + 1 $ 与 $ y = -x + 4 $ 的交点坐标
19. 圆心在原点，半径为 3 的圆的标准方程是什么？
20. 一个长方体的长宽高分别是 2, 3, 4，求其体积
三、数论类难题
21. 判断 17 是否为质数
22. 求 12 和 18 的最大公约数（GCD）
23. 求 100 以内所有质数
24. 求 100 以内能被 7 整除的数之和
25. 若 $ n $ 是偶数，则 $ n^2 $ 是奇数还是偶数？
26. 求 200 的因数个数
27. 求 100 以内的完全平方数
28. 证明：任意两个连续整数互质
29. 求 $ 10! $ 的末尾有多少个零？
30. 求 1 到 100 中能被 3 或 5 整除的数的个数
四、组合与概率类难题
31. 从 5 个球中选出 2 个，有多少种不同的选法？
32. 投掷两枚硬币，出现至少一枚正面的概率是多少？
33. 一副标准扑克牌有 52 张，从中抽一张，是红心的概率是多少？
34. 有 5 个人排队，有多少种不同的排列方式？
35. 从 10 个字母中选出 3 个进行排列，有多少种方法？
36. 掷一个骰子，出现偶数点的概率是多少？
37. 从 1 到 10 中随机选一个数，是质数的概率是多少？
38. 有 3 个红球和 2 个蓝球，从中任取 2 个，求都是红球的概率
39. 有 4 个男生和 3 个女生，从中选 2 人，求至少有一个女生的概率
40. 有 5 个不同的书，排成一列，有多少种方法？
五、进阶难题（适合高手）
41. 证明：$ \sqrt{2} $ 是无理数
42. 解方程：$ x^4 - 5x^2 + 4 = 0 $
43. 求函数 $ f(x) = \sin(x) $ 在区间 [0, π] 上的积分
44. 求极限：$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $
45. 求函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的极值点
46. 求函数 $ f(x) = \ln(x) $ 的导数
47. 证明：$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $
48. 解微分方程：$ y' = 2y $
49. 求复数 $ z = 1 + i $ 的模和幅角
50. 证明：$ e^{i\pi} + 1 = 0 $
六、趣味数学题
51. 一只蜗牛掉进 10 米深的井里，白天爬 3 米，晚上滑下 2 米，问几天能爬出来？
52. 有 10 只鸟站在树上，猎人打下 3 只，还剩几只？
53. 一个农夫有 17 头牛，他想把它们平均分给 3 个儿子，每人分多少？
54. 一个水桶装满水重 10kg，倒出一半后重 6kg，空桶多重？
55. 一个房间有 4 个角落，每个角落有一只猫，每只猫面对三个方向，问总共能看到多少只猫？
56. 用一根绳子绕地球一圈，再加 1 米，绳子离地面有多高？
57. 小明有 10 元钱，买 1 元的苹果，买了 10 个，剩下多少钱？
58. 一个钟表停了，指针指向 3 点，问实际时间是几点？
59. 一个数字，加上自己等于 10，这个数字是多少？
60. 一个数比它的 1/3 多 10，这个数是多少？
七、逻辑与推理题
61. 有 3 个盒子，分别标着“苹果”、“橘子”、“混合”，但标签都贴错了，如何只打开一个盒子就正确分类？
62. 甲乙丙三人中，只有一个说谎，谁在说谎？
63. 一个房间里有 3 个灯泡，外面有 3 个开关，只能进去一次，如何判断哪个开关控制哪个灯？
64. 有 5 个杯子，全部朝上，每次翻转 2 个，能否全部朝下？
65. 有 10 个硬币，其中 1 个是假币（轻），用天平称几次能找出？
66. 有 3 个医生，每人有一个病人，他们之间没有亲属关系，问是否存在一种情况？
67. 一个农民要过河，带一只狼、一只羊和一棵白菜，船只能带他和一样东西，怎么过？
68. 有 100 个囚犯，每人头上戴一顶帽子，颜色为黑或白，他们能看见别人帽子的颜色，但看不到自己的，如何保证最多人猜对？
69. 一个魔术师让观众想一个数字，然后通过一系列操作得出结果，如何设计？
70. 有 100 个瓶子，其中 1 个有毒，用老鼠试毒，最少需要多少只老鼠？
八、经典数学谜题
71. 阿基米德的浴缸问题
72. 三宿问题
73. 乌龟与阿基里斯赛跑悖论
74. 无限酒店悖论
75. 九点问题（连接九点的直线）
76. 七桥问题（哥尼斯堡七桥）
77. 蒙蒂霍尔问题
78. 爱因斯坦谜题（Zebra Puzzle）
79. 三色问题（地图着色）
80. 哥德尔不完备定理简介
九、现代数学难题（未解）
81. 黎曼猜想
82. P vs NP 问题
83. 霍奇猜想
84. 杨-米尔斯存在性与质量间隙
85. 纳维-斯托克斯存在性与光滑性
86. 费马大定理（已解）
87. 哥德巴赫猜想
88. 孪生质数猜想
89. 科拉茨猜想（3n+1 问题）
90. 柯克曼女生问题
十、拓展阅读与思考题
91. 数学之美：黄金分割、斐波那契数列
92. 什么是群论？有哪些应用？
93. 微积分的发展史
94. 非欧几何的起源与意义
95. 图论在现实中的应用
96. 数学在计算机科学中的作用
97. 数学与音乐的关系
98. 数学在经济学中的建模
99. 数学在物理学中的地位
100. 数学思维的培养方法
结语：
数学不仅是工具，更是一种思维方式。这100道数学难题，从基础到高阶，从逻辑到哲学，涵盖了数学世界的多个维度。无论你是学生、教师，还是数学爱好者，都可以从中找到乐趣与启发。希望这份清单能成为你探索数学奥秘的起点。
继续学习，继续思考，数学的世界永远值得你去发现。
