在学习《概率论与数理统计》这门课程的过程中，第五章通常涉及大数定律与中心极限定理等内容，是理解随机变量分布特性以及统计推断基础的重要章节。为了帮助同学们更好地掌握本章知识点，下面整理了第五章的部分课后习题及其参考答案，旨在通过练习加深对理论的理解，并提高解题能力。
一、基本概念复习
在进入具体题目之前，先回顾一下第五章的核心
- 大数定律（Law of Large Numbers）：描述了当试验次数足够多时，随机事件的频率会稳定在某一常数值附近。
- 中心极限定理（Central Limit Theorem）：指出在一定条件下，大量独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。
- 切比雪夫不等式：用于估计随机变量偏离其期望值的概率上限。
这些理论为后续的统计推断、假设检验等内容打下坚实的基础。
二、典型习题解析
题目1：
设随机变量 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $ 是相互独立且服从同一分布的随机变量，均值为 $ \mu $，方差为 $ \sigma^2 $。试用切比雪夫不等式证明：
$$
P\left( \left| \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i - \mu \right| < \varepsilon \right) > 1 - \frac{\sigma^2}{n \varepsilon^2}
$$
解答：
令 $ \bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i $，则根据切比雪夫不等式：
$$
P\left( |\bar{X}_n - \mu| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{D(\bar{X}_n)}{\varepsilon^2}
$$
由于 $ D(\bar{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n} $，因此：
$$
P\left( |\bar{X}_n - \mu| \geq \varepsilon \right) \leq \frac{\sigma^2}{n \varepsilon^2}
$$
所以有：
$$
P\left( |\bar{X}_n - \mu| < \varepsilon \right) > 1 - \frac{\sigma^2}{n \varepsilon^2}
$$
题目2：
设 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $ 是独立同分布的随机变量，每个 $ X_i $ 的期望为 $ \mu $，方差为 $ \sigma^2 $，求 $ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i $ 的期望与方差。
解答：
设 $ \bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i $，则：
- 期望：
$$
E(\bar{X}_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \mu = \mu
$$
- 方差：
$$
D(\bar{X}_n) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}
$$
题目3：
设 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $ 是独立同分布的随机变量，每个 $ X_i $ 服从参数为 $ \lambda $ 的泊松分布。试利用中心极限定理，近似计算：
$$
P\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \leq n\lambda + \sqrt{n\lambda} \right)
$$
解答：
由于 $ X_i \sim \text{Poisson}(\lambda) $，则 $ \sum_{i=1}^{n} X_i \sim \text{Poisson}(n\lambda) $。根据中心极限定理，当 $ n $ 较大时，可以近似认为：
$$
\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n\lambda}{\sqrt{n\lambda}} \xrightarrow{d} N(0, 1)
$$
因此，
$$
P\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \leq n\lambda + \sqrt{n\lambda} \right) \approx P\left( Z \leq 1 \right) = \Phi(1)
$$
其中 $ \Phi $ 为标准正态分布函数，查表可得 $ \Phi(1) \approx 0.8413 $。
三、总结
第五章的内容虽然抽象，但却是概率论与数理统计中非常关键的一环。通过对大数定律、中心极限定理以及切比雪夫不等式的深入理解，能够帮助我们更好地把握随机现象的规律性。建议同学们在做题过程中注重理解每一步的数学逻辑，并结合实际例子进行思考，从而提升自己的分析能力和应用水平。
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