在工程类专业学习过程中，数学作为一门基础学科，具有重要的理论和实践意义。为了检验学生对工程数学知识的掌握程度，许多高校和教育机构会定期组织相关考试。本文将提供一份“工程数学试题B”及其对应的参考答案，帮助学生进行复习与自测。
一、试题内容（工程数学试题B）
一、选择题（每题2分，共10分）
1. 下列函数中，属于偶函数的是（ ）
A. $ f(x) = x^3 $
B. $ f(x) = \sin x $
C. $ f(x) = e^x $
D. $ f(x) = x^2 $
2. 微分方程 $ y'' + 4y = 0 $ 的通解为（ ）
A. $ y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) $
B. $ y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} $
C. $ y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x) $
D. $ y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x} $
3. 向量 $ \vec{a} = (1, -2, 3) $ 与向量 $ \vec{b} = (-2, 1, 4) $ 的点积为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $ 的行列式值是（ ）
A. -2
B. 2
C. -5
D. 5
5. 函数 $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $ 的导数是（ ）
A. $ \frac{2x}{x^2 + 1} $
B. $ \frac{x}{x^2 + 1} $
C. $ \frac{2x}{x^2 - 1} $
D. $ \frac{2}{x^2 + 1} $
二、填空题（每空2分，共10分）
6. 设 $ z = x^2 + y^2 $，则 $ \frac{\partial z}{\partial x} = \_\_\_\_\_\_ $。
7. 方程 $ x^2 + y^2 = 9 $ 所表示的几何图形是 ______。
8. 若矩阵 $ A $ 的特征值为 2 和 -1，则 $ \text{det}(A) = \_\_\_\_\_\_ $。
9. 不定积分 $ \int \cos x \, dx = \_\_\_\_\_\_ $。
10. 级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $ 的和为 ______。
三、解答题（共30分）
11. （10分）求函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 2 $ 的极值点，并判断其类型。
12. （10分）求解微分方程 $ y' + 2y = e^{-x} $，并写出通解。
13. （10分）计算二重积分 $ \iint_D (x + y) \, dA $，其中区域 $ D $ 是由 $ x = 0 $、$ y = 0 $ 和 $ x + y = 1 $ 所围成的三角形区域。
二、参考答案
一、选择题
1. D
2. A
3. C
4. A
5. A
二、填空题
6. $ 2x $
7. 圆
8. -2
9. $ \sin x + C $
10. $ \frac{\pi^2}{6} $
三、解答题
11. 求导得 $ f'(x) = 3x^2 - 3 $，令导数为零，解得 $ x = \pm1 $。
- 当 $ x = 1 $ 时，$ f(1) = 0 $，且 $ f''(1) = 6 > 0 $，故为极小值点；
- 当 $ x = -1 $ 时，$ f(-1) = 4 $，且 $ f''(-1) = -6 < 0 $，故为极大值点。
12. 使用常数变易法或积分因子法，得到通解：
$ y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^{-x} $
13. 积分区域为 $ 0 \leq x \leq 1 $，$ 0 \leq y \leq 1 - x $，
计算得：
$$
\iint_D (x + y) \, dA = \int_0^1 \int_0^{1-x} (x + y) \, dy \, dx = \frac{1}{3}
$$
三、总结
本套“工程数学试题B”涵盖了函数性质、微分方程、线性代数、积分计算等核心知识点，旨在全面考查学生的数学应用能力。通过认真练习与理解，有助于提升逻辑思维和解决实际问题的能力。希望同学们在备考过程中能够查漏补缺，巩固基础，取得理想成绩。
