【习题五阿贝尔群与循环群（烟台大学计算机与控制工程学院）】在抽象代数的学习过程中，群论是一个基础而重要的部分。其中，阿贝尔群和循环群是两种具有特殊性质的群结构，它们在数学、计算机科学以及密码学等领域中有着广泛的应用。本章习题旨在帮助学生深入理解这两种群的基本概念、性质及其相互关系。

首先，我们来回顾一下阿贝尔群的定义。一个群 $ (G, \cdot) $ 被称为阿贝尔群（或交换群），如果其运算满足交换律，即对于任意的 $ a, b \in G $，都有 $ a \cdot b = b \cdot a $。换句话说，群中的元素在运算时顺序不影响结果。这种对称性使得阿贝尔群在许多实际问题中更容易处理。

接下来是循环群的概念。一个群 $ G $ 如果可以由某个元素 $ g \in G $ 通过反复运算生成，那么它被称为循环群。也就是说，存在一个元素 $ g $，使得 $ G = \{ g^n \mid n \in \mathbb{Z} \} $。这里的 $ g^n $ 表示 $ g $ 的 $ n $ 次幂，当 $ n $ 为正时是乘法形式，负时则是逆元的乘积。循环群是最简单的群结构之一，它不仅易于分析，而且在很多数学模型中都扮演着重要角色。

在本习题中，我们将探讨一些典型的例子，例如整数加法群 $ (\mathbb{Z}, +) $ 是一个无限循环群，而模 $ n $ 加法群 $ (\mathbb{Z}_n, +) $ 是有限循环群。同时，我们也需要判断某些给定的群是否为阿贝尔群，或者是否为循环群，并尝试证明相关结论。

此外，习题还涉及一些关于群同态、子群、商群等概念的题目。这些内容有助于进一步理解群的结构及其之间的关系。例如，一个循环群的每个子群也一定是循环的，而两个循环群之间可能存在同构关系，这取决于它们的阶数是否相同。

通过完成这些习题，学生不仅可以巩固对阿贝尔群和循环群的理解，还能培养逻辑推理能力和数学建模能力。这对于今后学习更高级的代数知识，如环、域、向量空间等，具有重要意义。

总之，阿贝尔群与循环群是群论中的核心内容，掌握它们的性质和应用，将为后续的数学学习打下坚实的基础。希望同学们能够认真思考每一道题目，逐步提升自己的数学素养和解决问题的能力。

——烟台大学计算机与控制工程学院