【假设检验例题】在统计学中，假设检验是一种重要的推断方法，用于根据样本数据对总体的某些特性进行判断。通过设定合理的假设并利用统计分析手段，我们可以验证某一现象是否具有统计意义。本文将通过一个典型的例题来展示如何进行假设检验的过程。

一、问题背景

某饮料公司声称其新推出的一种果汁饮料含糖量为每瓶100克。为了验证这一说法是否属实，市场监督部门随机抽取了30瓶该饮料进行检测，测得平均每瓶含糖量为98克，标准差为5克。假设含糖量服从正态分布，试在显著性水平α=0.05下，判断该公司的声明是否成立。

二、建立假设

在进行假设检验时，首先需要明确原假设（H₀）和备择假设（H₁）：

- 原假设 H₀：该饮料的平均含糖量为100克，即 μ = 100

- 备择假设 H₁：该饮料的平均含糖量不等于100克，即 μ ≠ 100

这是一个双尾检验，因为我们要检验的是“是否等于”而不是“大于”或“小于”。

三、选择检验统计量

由于样本容量为30，且总体标准差未知，因此应使用t检验。其计算公式如下：

$$

t = \frac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n}}

$$

其中：

- $\bar{x}$ 是样本均值，为98克

- μ 是原假设中的总体均值，为100克

- s 是样本标准差，为5克

- n 是样本容量，为30

代入数值：

$$

t = \frac{98 - 100}{5 / \sqrt{30}} = \frac{-2}{5 / 5.477} = \frac{-2}{0.913} ≈ -2.19

$$

四、确定临界值与拒绝域

在显著性水平α=0.05的情况下，双尾检验对应的临界值为 ±t_{0.025,29}。查t分布表可知，自由度为29时，临界值约为 ±2.045。

因此，拒绝域为 t < -2.045 或 t > 2.045。

五、做出判断

计算得到的t值为-2.19，落在拒绝域内（-2.19 < -2.045），因此我们有理由拒绝原假设。

六、结论

在显著性水平α=0.05下，可以认为该饮料的平均含糖量与公司宣称的100克存在显著差异。也就是说，该公司的声明可能不准确。

七、注意事项

- 假设检验的结果依赖于样本数据和所选的显著性水平。

- 若样本容量较小或数据分布不符合正态性假设，可能需要采用非参数检验方法。

- 实际应用中，还需结合业务背景进行综合判断，避免仅凭统计结果做决策。

通过以上步骤，我们完成了对一个实际问题的假设检验分析。这不仅帮助我们理解统计推断的基本原理，也增强了我们从数据中提取信息的能力。