【等差数列所有公式】等差数列是数学中常见的一种数列，其特点是每一项与前一项的差为一个常数，这个常数称为公差。在学习数列的过程中，掌握等差数列的相关公式是非常重要的。本文将对等差数列的所有常用公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本概念
- 首项：数列的第一个数，记作 $ a_1 $
- 末项：数列的最后一个数，记作 $ a_n $
- 公差：相邻两项之差，记作 $ d $
- 项数：数列中包含的项的数量，记作 $ n $
二、常用公式汇总
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | 用于求第n项的值 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | 同上，也可称为通项公式 |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | 求前n项的和 |
| 另一种前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 适用于已知首项和公差的情况 |
| 公差计算公式 | $ d = a_n - a_{n-1} $ | 用于计算相邻两项的差 |
| 等差中项公式 | $ a_m = \frac{a_{m-k} + a_{m+k}}{2} $ | 若 $ a_{m-k}, a_m, a_{m+k} $ 成等差，则中间项为等差中项 |
三、应用示例
假设有一个等差数列，首项 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = 2 $，求：
1. 第5项是多少？
$ a_5 = 3 + (5 - 1) \times 2 = 3 + 8 = 11 $
2. 前5项的和是多少？
$ S_5 = \frac{5}{2}(3 + 11) = \frac{5}{2} \times 14 = 35 $
3. 第7项与第3项的等差中项是多少？
$ a_7 = 3 + (7 - 1) \times 2 = 15 $，$ a_3 = 3 + 2 \times 2 = 7 $
中项为 $ \frac{15 + 7}{2} = 11 $
四、注意事项
- 在使用公式时，注意区分“第n项”与“前n项和”的不同。
- 公差可以是正数、负数或零，分别表示数列递增、递减或恒定。
- 当数列较长时，建议使用通项公式结合前n项和公式进行计算。
通过以上总结，我们可以系统地掌握等差数列的基本公式及其应用场景。这些公式不仅在考试中频繁出现，也是解决实际问题的重要工具。希望本篇内容能够帮助你更好地理解和运用等差数列的相关知识。
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