在概率论与数理统计中，数学期望是一个非常重要的概念。它可以帮助我们理解随机变量的平均行为，并且在实际应用中有着广泛的应用。本课件将详细介绍数学期望的基本定义、性质以及一些典型的应用案例。

一、数学期望的基本定义

设X是一个离散型随机变量，其可能取值为x1, x2, ..., xn，对应的概率分别为p1, p2, ..., pn，则X的数学期望E(X)定义为：

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \]

对于连续型随机变量X，若其概率密度函数为f(x)，则X的数学期望E(X)定义为：

\[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \]

数学期望反映了随机变量取值的集中趋势，可以看作是随机变量的“平均值”。

二、数学期望的性质

1. 线性性：如果a和b是常数，则有：

\[ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) \]

2. 非负性：如果随机变量X的所有可能取值均为非负，则其期望也非负：

\[ X \geq 0 \Rightarrow E(X) \geq 0 \]

3. 单调性：如果随机变量X和Y满足 \( X \leq Y \)，则有：

\[ E(X) \leq E(Y) \]

这些性质使得数学期望成为分析随机变量的重要工具。

三、数学期望的应用案例

案例1：赌博问题

假设一个赌徒每次下注1元，赢的概率为p，输的概率为1-p。如果赢了可以获得2元（即净收益1元），输了则损失1元。那么赌徒每局的期望收益为：

\[ E(\text{收益}) = (1 \cdot p) + (-1 \cdot (1-p)) = 2p - 1 \]

当p > 0.5时，赌徒长期来看是有利可图的；而当p < 0.5时，赌徒则会亏损。

案例2：投资决策

某投资者考虑两种不同的投资项目A和B。项目A的预期收益率为8%，标准差为10%；项目B的预期收益率为12%，标准差为20%。通过计算两者的期望收益，投资者可以选择风险与收益的最佳平衡点。

四、总结

数学期望是概率论中的核心概念之一，它不仅帮助我们理解随机现象的规律，还在金融、工程、社会科学等领域发挥着重要作用。掌握好数学期望的相关知识，对于深入学习概率论与数理统计至关重要。

希望本课件能帮助大家更好地理解和应用数学期望的概念！