在高中数学的学习过程中，三角恒等变换是一个重要的知识点，它不仅在函数、方程、不等式等章节中广泛应用，而且在解决实际问题时也具有重要意义。掌握好三角恒等变换的公式与技巧，有助于提升学生的逻辑思维能力和数学运算能力。

以下是一些关于《三角恒等变换》的典型练习题，帮助学生巩固基础知识，提高解题能力。

一、选择题

1. 已知 $\sin \theta = \frac{3}{5}$，且 $\theta$ 在第二象限，则 $\cos \theta =$（ ）

A. $-\frac{4}{5}$

B. $\frac{4}{5}$

C. $-\frac{3}{5}$

D. $\frac{3}{5}$

2. 若 $\tan \alpha = \frac{1}{2}$，则 $\sin 2\alpha =$（ ）

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{4}{5}$

D. $\frac{3}{5}$

3. 化简：$\sin^2 x + \cos^2 x - \sin x \cos x$ 的结果是（ ）

A. $1 - \sin x \cos x$

B. $1$

C. $\sin x \cos x$

D. $0$

二、填空题

4. 已知 $\cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}$，$\cos(\alpha - \beta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$，则 $\cos \alpha \cos \beta =$ _______。

5. $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$，则 $\cos 75^\circ =$ _______。

6. 若 $\sin x = \frac{1}{2}$，则 $\cos 2x =$ _______。

三、解答题

7. 求证：$\frac{\sin x}{1 + \cos x} = \tan \frac{x}{2}$。

8. 已知 $\sin x + \cos x = \frac{1}{2}$，求 $\sin 2x$ 的值。

9. 化简表达式：$\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)}$。

10. 设 $\theta$ 是锐角，且 $\sin \theta = \frac{1}{3}$，求 $\sin 2\theta$ 和 $\cos 2\theta$ 的值。

四、拓展题（选做）

11. 已知 $\tan \alpha = \frac{1}{2}$，$\tan \beta = \frac{1}{3}$，求 $\tan(\alpha + \beta)$ 的值。

12. 若 $\cos x = \frac{3}{5}$，且 $x$ 在第四象限，求 $\sin 2x$ 和 $\cos 2x$ 的值。

答案参考（供参考）

1. A

2. B

3. A

4. $\frac{1}{2}$

5. $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

6. $-\frac{3}{4}$

7. 证明略（利用半角公式）

8. $-\frac{3}{4}$

9. $\tan x$

10. $\sin 2\theta = \frac{2\sqrt{2}}{9}$，$\cos 2\theta = \frac{7}{9}$

11. $\frac{5}{7}$

12. $\sin 2x = -\frac{24}{25}$，$\cos 2x = \frac{7}{25}$

通过以上练习题的训练，可以帮助学生更好地理解和掌握三角恒等变换的相关知识，提高综合运用能力。建议在学习过程中注重公式的推导过程，理解其几何意义和代数本质，从而达到举一反三的效果。