【指数函数练习题】在数学学习中，指数函数是一个非常重要的知识点，尤其在高中阶段的代数和函数部分占据着重要地位。为了帮助同学们更好地掌握这一部分内容，下面提供一份关于指数函数的练习题，涵盖基本概念、性质以及应用问题，适合课后巩固与复习。
一、选择题
1. 下列函数中，属于指数函数的是（ ）
A. $ y = x^2 $
B. $ y = 2^x $
C. $ y = \log_2 x $
D. $ y = x^3 $
2. 若函数 $ f(x) = a^x $ 的图像经过点 (2, 9)，则 $ a $ 的值为（ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 4
3. 已知 $ f(x) = 3^{x} $，则 $ f(1) + f(-1) $ 的值是（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
4. 函数 $ y = 2^{-x} $ 的图像是（ ）
A. 在第一、二象限递增
B. 在第一、四象限递减
C. 在第一、三象限递增
D. 在第二、四象限递减
5. 下列函数中，随着 $ x $ 增大而增长最快的是（ ）
A. $ y = 2^x $
B. $ y = x^2 $
C. $ y = 3^x $
D. $ y = e^x $
二、填空题
1. 若 $ 2^x = 8 $，则 $ x = $ ______。
2. 函数 $ y = 5^{x-1} $ 的定义域是 ______。
3. 若 $ f(x) = 4^x $，则 $ f(0) = $ ______。
4. 函数 $ y = a^x $ 在 $ a > 1 $ 时是 ______ 函数；当 $ 0 < a < 1 $ 时是 ______ 函数。
5. 若 $ 3^{x+1} = 27 $，则 $ x = $ ______。
三、解答题
1. 求函数 $ y = 2^{x} + 1 $ 的图像经过哪些象限？并说明其单调性。
2. 解方程：$ 4^{x} = 64 $。
3. 已知函数 $ f(x) = 3^{x} $，求 $ f(2) $ 和 $ f(-1) $ 的值，并比较它们的大小。
4. 比较下列各组数的大小：
（1）$ 2^3 $ 与 $ 3^2 $
（2）$ 5^{0.5} $ 与 $ 2^{1.5} $
（3）$ \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} $ 与 $ \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} $
5. 某种细菌每小时繁殖一倍，初始数量为 100 个，问 5 小时后有多少个？
四、拓展题（选做）
1. 设函数 $ f(x) = a^{x} $，且 $ f(2) = 9 $，求 $ f(1) $ 的值。
2. 已知 $ 2^{x} = 8 $，$ 3^{y} = 27 $，求 $ x + y $ 的值。
3. 比较 $ 2^{10} $ 与 $ 10^2 $ 的大小。
4. 求函数 $ y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x} $ 的反函数。
5. 已知 $ f(x) = 2^{x} $，若 $ f(a) = 8 $，求 $ a $ 的值。
通过以上练习题，可以全面检验对指数函数的理解程度。建议在解题过程中注意以下几点：
- 熟悉指数函数的基本形式和图像特征；
- 掌握指数运算的法则，如乘法、除法、幂的乘方等；
- 能够将实际问题转化为指数函数模型进行分析。
希望这份练习题能帮助你在数学学习中更进一步！
