【北交大概率论与数理统计(a)期末考试试卷答案】在2024年秋季学期的《概率论与数理统计（A）》课程中，北京交通大学的同学们迎来了本学期的重要考核——期末考试。本次考试内容涵盖了概率论的基本概念、随机变量及其分布、期望与方差、大数定律与中心极限定理、参数估计与假设检验等核心知识点。以下是对本次考试试卷的详细解析与参考答案，旨在帮助学生更好地理解考试重点和解题思路。
一、选择题部分
本部分主要考察学生对基本概念的理解和掌握程度，题目难度适中，但部分题目需要较强的逻辑推理能力。
例题：
设随机变量 $ X \sim N(0,1) $，则 $ P(X > 1.96) = $ （）
A. 0.025
B. 0.05
C. 0.01
D. 0.1
解析：
由于 $ X \sim N(0,1) $，查标准正态分布表可知，$ P(X > 1.96) = 1 - \Phi(1.96) \approx 1 - 0.975 = 0.025 $，因此正确答案为 A。
二、填空题部分
该部分主要考查学生对公式、定理及计算步骤的熟悉程度，要求准确无误。
例题：
设 $ X \sim B(n,p) $，则 $ E(X) = $ ________，$ D(X) = $ ________。
答案：
$ E(X) = np $，$ D(X) = np(1-p) $
三、计算题部分
这部分是整张试卷的重点，考察学生的综合应用能力，包括对概率模型的建立、参数估计、假设检验等知识的灵活运用。
例题：
某工厂生产的产品次品率为 $ p $，现从一批产品中随机抽取 100 件，发现其中有 8 件次品。试用极大似然估计法估计 $ p $ 的值，并给出其方差。
解析：
设样本中次品数为 $ X \sim B(100, p) $，则似然函数为：
$$
L(p) = \binom{100}{8} p^8 (1-p)^{92}
$$
对 $ L(p) $ 取对数得：
$$
\ln L(p) = \ln \binom{100}{8} + 8 \ln p + 92 \ln(1-p)
$$
对 $ p $ 求导并令导数为零：
$$
\frac{d}{dp} \ln L(p) = \frac{8}{p} - \frac{92}{1-p} = 0
$$
解得：
$$
p = \frac{8}{100} = 0.08
$$
因此，极大似然估计值为 $ \hat{p} = 0.08 $，其方差为：
$$
D(\hat{p}) = \frac{p(1-p)}{n} = \frac{0.08 \times 0.92}{100} = 0.000736
$$
四、证明题部分
此类题目主要考察学生对理论知识的理解深度和逻辑表达能力。
例题：
证明：若 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，则 $ aX + b \sim N(a\mu + b, a^2 \sigma^2) $。
证明：
设 $ Y = aX + b $，其中 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $。
根据正态分布的线性变换性质，若 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，则对于任意常数 $ a \neq 0 $ 和 $ b $，有：
$$
Y = aX + b \sim N(a\mu + b, a^2 \sigma^2)
$$
此结论可通过特征函数或概率密度函数的变换来严格证明，此处略去详细推导过程。
五、综合应用题
这类题目通常结合多个知识点，考察学生综合分析和解决实际问题的能力。
例题：
某超市每天的顾客数量服从泊松分布 $ \lambda = 10 $，求在一天内顾客人数不超过 15 的概率。
解析：
设 $ X \sim \text{Poisson}(\lambda = 10) $，则：
$$
P(X \leq 15) = \sum_{k=0}^{15} \frac{e^{-10} 10^k}{k!}
$$
可使用泊松分布表或计算器进行计算，结果约为 0.9513。
总结
本次《概率论与数理统计（A）》期末考试整体难度适中，既注重基础知识的掌握，也强调实际应用能力。建议学生在复习时注重以下几个方面：
- 熟练掌握各类分布的概率质量函数与概率密度函数；
- 理解期望、方差、协方差等数字特征的计算方法；
- 掌握参数估计与假设检验的基本思想与步骤；
- 多做历年真题，提升解题速度与准确性。
通过系统复习和针对性练习，相信每位同学都能在考试中取得理想的成绩！
